Sougya : La beraita met la ville au carré, comme une tablette, puis met au carré ses tehoumin de Chabbat. On ne mesure pas 2000 coudées en diagonale depuis l'angle : on perdrait les coins, et le tehum au droit du mur tomberait à 1428.
On pose à l'angle une tablette de 2000 sur 2000, diagonale contre diagonale, et l'on mesure 2800. Pour une ville ronde de 2000 sur 2000, la ville gagne 400 coudées à l'angle, le tehum 800, et les deux ensemble 1200.
Rabbi Eliezer fils de Rabbi Yossi dit que le migrash des villes des lévites, 1000 coudées, est un quart du tout. Bar Adda compte en unités de 1000 sur 1000 : 12 sur 32, puis 12 sur 36.
Le quart apparaît quand la ville est ronde : le carré dépasse le cercle d'un quart, et 9 sur 36 font un quart. Abaye ouvre un second cas, une ville de 1000 sur 1000.
Les sages ont enseigné : celui qui met la ville au carré en fait comme une tablette carrée. Puis il remet les tehoumin au carré, et il en fait comme une tablette carrée.
La beraita règle la mesure du tehum, les 2000 coudées de Chabbat autour de la ville. On met d'abord la ville au carré, comme une tablette dont la longueur égale la largeur. On met ensuite les tehoumin au carré, de la même façon.
Rachi : la ville est ronde. Abaye, plus loin, la fixe à 2000 sur 2000. Le tehum a, le long du mur, la largeur de la ville, et il s'étend de 2000 au-delà du mur.
Et quand il mesure, il ne mesure pas deux mille coudées depuis le milieu de l'angle, parce qu'il perd les angles. Il apporte une tablette carrée de deux mille coudées sur deux mille coudées, et il la pose à l'angle, sur sa diagonale.
La faute : mesurer 2000 en diagonale depuis le milieu de l'angle, puis tendre le fil d'un angle à l'autre. On perd les angles. Au droit du mur, le tehum ne fait plus que 1428 coudées.
Règle du compte : chaque coudée du carré vaut une coudée et deux cinquièmes en diagonale, soit 7/5. Si la diagonale vaut 2000, le côté vaut 2000 fois 5/7, soit 1428. Si le côté vaut 2000, la diagonale vaut 2800. Rachi détaille l'excédent : 2856 cinquièmes, soit 572 coudées moins 4 cinquièmes, et leur somme avec 1428 donne 2000.
La mesure juste : une tablette de 2000 sur 2000 posée à l'angle, sa diagonale dans le sens de l'angle. On mesure 2800, puis on tend le fil. Au droit du mur, le tehum reste de 2000. Le fil en gamma est une équerre : il relie le tehum des angles à celui du mur. Les peot, les coins du carré, sont exigés pour tous ceux qui chôment le Chabbat.
Il se trouve que la ville gagne quatre cents coudées de ce côté-ci et quatre cents coudées de ce côté-là. Il se trouve que les tehoumin gagnent huit cents coudées de ce côté-ci et huit cents de ce côté-là.
Il se trouve que la ville et les tehoumin gagnent mille deux cents de ce côté-ci et mille deux cents de ce côté-là.
Ces chiffres valent pour la ville ronde de diamètre 2000, une fois mise au carré. Le carré qui l'entoure a un côté de 2000 et une diagonale de 2800. A chaque bout de cette diagonale, l'angle dépasse le cercle de 400 coudées. La ville gagne donc 400 de ce côté-ci et 400 de ce côté-là.
Le tehum de l'angle, mesure par la tablette, gagne les 800 coudées dont la diagonale de 2800 dépasse le côté de 2000. Ville et tehoumin ensemble : 1200 à chaque bout.
Abaye a dit : et tu le trouves pour une ville de deux mille sur deux mille.
Abaye borne le compte. Les gains de 400, de 800 et de 1200 se trouvent quand la ville ronde fait 2000 sur 2000. Pour une autre taille, les écarts changent.
On enseigne : Rabbi Eliezer, fils de Rabbi Yossi, a dit : le tehum des villes des lévites est de deux mille coudées. Retires-en mille coudées de migrash.
Le migrash se trouve être un quart, et le reste, des champs et des vignes.
Autre beraita, sur les villes des lévites. Leur tehum est de 2000 coudées. On en retire 1000 coudées de migrash, le terrain ouvert au pied du mur. On n'y sème pas. On le laisse pour l'agrément de la ville.
Rabbi Eliezer fils de Rabbi Yossi dit que ce migrash est un quart, et que le reste du tehum est champs et vignes. Au-delà du tehum, les lévites n'ont rien. Le quart sera justifié par le calcul qui suit.
D'où tient-on ces mesures ? Rava a dit : car le verset dit : "Depuis le mur de la ville et au-dehors, mille coudées alentour." La Torah a dit : entoure la ville de mille.
Le migrash se trouve être un quart.
Rava tire les 1000 coudées du verset des villes des lévites : depuis le mur de la ville et au-dehors, mille coudées alentour. Rachi rappelle le début du verset, qui parle des migrash que l'on donne.
Entoure la ville de mille : le migrash fait le tour. De là, dit Rava, il est un quart. La suite montre que ce quart ne se lit pas sur une ville carrée comptée au simple rapport 1000 pour 2000.
Un quart ? C'est une moitié !
Rava a dit : Bar Adda l'arpenteur me l'a expliqué. Tu le trouves pour une ville de deux mille sur deux mille.
Le tehum, combien fait-il ? Seize.
Les angles, combien font-ils ? Seize.
Retranche huit des tehoumin et quatre des angles. Combien cela fait-il ?
Douze.
L'objection : 1000, c'est la moitié de 2000. Comment l'appeler un quart ? Tossefot précisent : l'objection vise le migrash des côtés, moitié des tehoumin. Des qu'on ajoute les angles, le rapport change avec la taille de la ville.
Bar Adda, qui trace les tehoumin, compte en quarts de 1000 sur 1000. Ville carrée de 2000 sur 2000. Chaque côté, hors les angles : 2000 vers l'extérieur sur 2000 le long du mur, soit 4 unités. Quatre côtés : 16. Chaque angle : une tablette de 2000 sur 2000, soit 4. Quatre angles : 16.
Le migrash est la bande intérieure de 1000. Sur les côtés : 8. Sur les angles : 1000 sur 1000, soit 4. Total : 12.
Le migrash se trouve être un quart ? Ils font plus d'un tiers !
Douze sur les 32 du tehum et des angles, c'est trois huitièmes, donc plus d'un tiers. Rachi lit la phrase comme un étonnement : la beraita avait annoncé un quart.
Apporte les quatre de la ville, jette-les dessus. C'est encore un tiers !
On ajoute les 4 unités de la ville aux 32. Le total passe à 36. Le migrash, 12, est alors un tiers de 36. Le quart annoncé n'est pas encore atteint.
Rachi : le quart de la beraita porte sur tout le compte, la ville avec les tehoumin et les angles.
Penses-tu qu'il parle d'un carré ? Il parle d'un cercle.
La beraita vise une ville ronde. La surface du cercle et celle du carré qui l'entoure diffèrent. C'est cet écart qui va ramener le migrash au quart.
De combien le carré dépasse-t-il le cercle ? D'un quart.
Retranches-en un quart : il en reste neuf. Et neuf sur trente-six, c'est un quart.
Règle du compte : le carré dépasse le cercle d'un quart du carré. Le cercle vaut les trois quarts du carré de même côté, ou de même diamètre. On le tient du pourtour : 3 pour le cercle, 4 pour le carré.
Rachi : ville et migrash, en carré de 4000 sur 4000, font 16 unités, dont 12 de migrash et 4 de ville. En cercle, on retranche le quart : 12. Les trois parts de migrash font 9, la quatrième est la ville.
Avec les tehoumin de 2000 tout autour, la part des lévites est un carré de 6000 de côté, soit 36 unités. 9 sur 36, c'est un quart. Tossefot, au nom du Ri, montrent le même quart sur le pourtour et sur la surface, par les fils du cercle comparés au tefah carré.
Abaye a dit : tu le trouves aussi pour une ville de mille sur mille. Les tehoumin, combien font-ils ?
Huit. Les angles, combien font-ils ?
Seize.
Abaye donne un second cas : une ville de 1000 sur 1000. On ne compte pas la ville dans le total. Le quart se dit des tehoumin et des angles.
Tehoumin : de chaque côté, 2000 vers l'extérieur sur 1000 le long du mur, soit 2 unités. Quatre côtés : 8. Angles : la bande sort de 2000, donc chaque angle est une tablette de 2000 sur 2000, soit 4. Quatre angles : 16.
La page s'arrête sur ces deux chiffres. Tossefot : quand on met ensuite la ville au carré, le quart ne se prend que sur les tehoumin en dehors de ce carré.
Texte hébreu et araméen vocalisé : édition numérique William Davidson du Talmud Koren Noé, via Sefaria (licence CC BY-NC). Traduction française, notes et schémas : Chiourim BA (licence CC BY 4.0).