Sougya : Ce folio est presque entièrement un exercice de géométrie, et c'est un des rares endroits du Talmud où l'on voie les Sages calculer pas à pas, se corriger, et discuter la valeur d'une approximation. Le point de départ vient de 7a : Rabbi Yo'hanan a déclaré kachère la soukka ronde en forme de four (kivchan) si vingt-quatre personnes peuvent s'asseoir le long de son tour.
Rattachée à Rabbi, qui exige quatre coudées sur quatre, la mesure paraissait deux fois trop grande. La guemara resserre alors le calcul en trois temps.
D'abord : douze de tour donnent bien quatre coudées, mais seulement au milieu du cercle, alors que Rabbi veut quatre coudées carrées. Ensuite : le rapport bien connu selon lequel le carré dépasse le cercle d'un quart ne joue que dans un sens -- du carré vers le cercle inscrit ; en sens inverse, les angles du carré saillent hors du cercle (morcha de-karnata) et il faut plus grand.
Enfin le calcul exact : la diagonale vaut le côté plus deux cinquièmes, soit 5 et 3/5 de diamètre pour un carré de quatre, donc 16,8 de tour -- dix-sept moins un cinquième. Voilà le vrai minimum, et les vingt-quatre de Rabbi Yo'hanan restent inexpliqués.
La réponse lo dak, il n'a pas serré la mesure, est aussitôt mise en cause : on arrondit d'un peu, pas de sept coudées. Trois maîtres tentent alors de sauver le chiffre.
Mar Kachicha compte trois hommes pour deux coudées, ce qui ramène le tour à seize -- rejeté, car ce lo dak-là irait vers l'indulgence et validerait une soukka passoule. Rav Assi propose que les vingt-quatre mesurent le cercle des hommes assis au-dehors : le tour extérieur fait 24, le diamètre 8, les parois 6, donc 18 de tour -- un lo dak vers la rigueur, et de deux cinquièmes seulement en largeur.
La guemara s'en satisfait, mais Tossefot juge le procédé forcé et rappelle qu'ailleurs, dans Erouvin, Rabbi Yo'hanan compte bien la place des hommes. Le folio s'achève sur les Sages de Césarée, qui proposent une autre table de conversion : un quart de moins du carré au cercle inscrit, et -- la suite au verso -- la moitié de plus du cercle au carré inscrit.
Vingt-quatre divisé par une fois et demie donne seize, le périmètre exact du carré requis : le compte tombe juste, sans approximation. La règle de la moitié sera elle-même discutée en 8b.
Cela ne vaut que pour un cercle ; mais pour un carré -- il en faut davantage.
Le folio reprend en pleine discussion, sans respirer. À la fin de 7a, Rabbi Yo'hanan avait posé que la soukka ronde en forme de four (kivchan) n'est kachère que si son tour permet d'y asseoir vingt-quatre personnes ; la guemara avait rattaché cette exigence à Rabbi, qui réclame de toute soukka quatre coudées sur quatre. Puis elle avait objecté : puisque tout ce qui a trois de tour a une coudée de largeur, vingt-quatre de tour donnent huit coudées de diamètre -- le double du nécessaire. Douze auraient suffi.
La réponse tient en cinq mots : hanei milei be-igoula, cela ne vaut que pour un cercle. Un tour de douze donne bien quatre coudées, mais seulement d'un bord à l'autre en passant par le centre. Or Rabbi n'exige pas quatre coudées de largeur : il exige arba amot merouba'ot, quatre coudées carrées -- quatre sur les côtés comme au milieu. Un cercle n'a sa largeur qu'en son milieu, dit Rachi : ses flancs vont en s'amenuisant. Pour loger un vrai carré, il faut un tour plus grand.
Toute la sougya qui suit n'est que la mesure exacte de ce tefei, ce davantage. La guemara va l'estimer trois fois avant d'accepter un chiffre.
Or, de combien le carré dépasse-t-il le cercle ? D'un quart.
Alors un tour de seize suffirait !
La guemara accepte le principe et demande la mesure. Elle invoque une règle reçue, enseignée dans le recueil dit des quarante-neuf mesures : le carré dépasse le cercle d'un quart. Rachi la rend visible à l'œil : une coudée ronde se ceint d'un cordeau de trois, une coudée carrée d'un cordeau de quatre -- une coudée par côté. Quatre contre trois : le quart.
Si le carré requis mesure quatre sur quatre, son périmètre est de seize. En appliquant naïvement la proportion, un tour de seize devrait donc suffire pour le cercle. On est encore loin des vingt-quatre.
Tossefot ouvre ici une longue parenthèse mathématique, pour prévenir un contresens redoutable : cette proportion d'un quart concerne les surfaces, pas les cordeaux. Deux figures peuvent avoir exactement le même tour et des aires très différentes -- une bande de cinq sur une, ceinte de douze comme un carré de trois sur trois, ne contient pourtant que cinq coudées carrées contre neuf. Tossefot démontre alors la proportion par un découpage : on enroule un point de cordeaux jusqu'à former un cercle d'un tefah, on coupe du centre vers le bas, on déplie -- il en sort un triangle de base trois et de hauteur un demi, soit trois quarts d'aire, contre un pour le carré.
Cela ne vaut que pour un cercle qui sort de l'intérieur d'un carré ; mais un carré qui sort de l'intérieur d'un cercle -- il en faut davantage, à cause de la saillie des angles (morcha de-karnata).
Voici le cœur géométrique du folio. La proportion d'un quart n'est pas symétrique : tout dépend du sens dans lequel on passe d'une figure à l'autre.
Cercle sorti du carré : on part d'un carré et on l'arrondit par le dedans, en rognant les angles. Rachi le décrit au sol : un cordeau de seize tendu en carré donne quatre coudées sur quatre ; arrondi par l'intérieur, il ne faut plus qu'un cordeau de douze. L'extérieur dépasse l'intérieur d'un quart -- exactement la règle du segment précédent.
Carré sorti du cercle : c'est l'inverse, et c'est notre cas. La soukka est ronde ; il faut y inscrire un carré. Si son tour n'était que de seize, son milieu serait large de bien plus que quatre, mais ses flancs iraient en s'amenuisant, et le carré n'aurait pas où loger ses angles. C'est le morcha de-karnata, la saillie des angles : les quatre coins du carré débordent du cercle. Il faut donc un cercle plus grand -- non pour la largeur, qui suffirait, mais pour les coins.
Or, toute coudée de côté dans un carré fait une coudée et deux cinquièmes en diagonale : un tour de dix-sept moins un cinquième suffirait donc ! -- Il n'a pas été précis (lo dak).
La guemara calcule maintenant le davantage exigible, et le calcul est parfaitement conduit. Règle reçue : la diagonale d'un carré vaut le côté plus deux cinquièmes -- notre racine de deux, estimée à 1,4. Pour un carré de quatre sur quatre, la diagonale vaut donc 4 x 1,4 = 5 coudées et 3/5.
Or, quand un carré est inscrit dans un cercle, sa diagonale est exactement le diamètre du cercle. Rachi le souligne : un objet rond a partout la même largeur, son milieu vaut sa diagonale, puisqu'il n'a pas d'angles. Le diamètre requis est donc de 5 et 3/5 ; le tour, trois fois plus, soit 16,8 -- dix-sept moins un cinquième. Voilà le vrai minimum.
Réponse : lo dak, Rabbi Yo'hanan n'a pas serré la mesure au plus juste ; il a annoncé davantage, car plus la soukka est grande, mieux cela vaut. Tossefot ajoute une précision remarquable : la règle des deux cinquièmes est elle-même approximative. Un carré de dix sur dix vaut cent ; le carré inscrit qui joint les milieux de ses côtés en vaut exactement la moitié, cinquante. Mais 1,4 x 5 = 7, et sept sur sept ne fait que quarante-neuf. Il manque une unité : la règle est un peu courte, et les Sages le savaient.
Admettons que l'on dise lo dak lorsque l'écart est minime ; mais lorsqu'il est considérable, dit-on lo dak ?
Objection de bon sens, et elle est décisive pour la suite. Lo dak -- il n'a pas serré la mesure -- est un principe d'interprétation légitime : un maître peut arrondir. Encore faut-il que l'arrondi reste un arrondi.
Ici l'écart n'est pas mince : le minimum calculé est de 16,8 et Rabbi Yo'hanan en exige 24. Plus de sept coudées d'écart, près de la moitié en plus. Ce n'est plus une approximation, c'est une autre mesure. Il faut donc chercher ce que les vingt-quatre comptent réellement -- et c'est ce que vont tenter trois maîtres successifs.
Mar Kachicha -- c'est-à-dire l'ancien -- fils de Rav Hisda, dit à Rav Achi : penses-tu qu'un homme assis occupe une coudée ? Trois hommes s'assoient sur deux coudées ! -- Combien cela fait-il ?
Seize. Or nous exigeons dix-sept moins un cinquième ! -- Il n'a pas été précis.
Première tentative, et elle attaque l'hypothèse cachée du calcul : que chaque homme assis occupe une coudée entière. Mar Kachicha corrige : trois hommes tiennent sur deux coudées, soit deux tiers de coudée chacun. Les vingt-quatre personnes de Rabbi Yo'hanan ne mesurent donc pas vingt-quatre coudées de tour, mais seize.
L'objection tombe élégamment : les 24 de Rabbi Yo'hanan ne sont plus une mesure de longueur, mais un effectif. Malheureusement seize reste en dessous de 16,8. On répond encore lo dak -- mais cette fois l'arrondi va dans le mauvais sens.
Admettons que l'on dise lo dak vers la rigueur ; mais vers l'indulgence, dit-on lo dak ?
La réfutation est nette, et elle énonce une règle qui dépasse largement notre sougya. Un maître peut arrondir le-houmra, vers la rigueur : s'il exige un peu plus que le strict minimum, aucun dommage, la soukka reste kachère. Mais s'il arrondit le-koula, vers l'indulgence, il déclare kachère une soukka qui est en réalité passoule.
Or c'est exactement ce que produit la lecture de Mar Kachicha : seize coudées au lieu des 16,8 requises. Rabbi Yo'hanan aurait validé une soukka trop petite. Impossible -- on ne prête pas à un maître une approximation qui rend permis l'interdit. L'hypothèse est écartée.
Rav Assi dit à Rav Achi : en vérité, un homme assis occupe bien une coudée -- mais Rabbi Yo'hanan ne compte pas la place des hommes.
Deuxième tentative, et elle ne touche pas à la taille de l'homme : elle déplace les hommes. Rav Assi accorde qu'un homme assis occupe une coudée, mais soutient que Rabbi Yo'hanan ne parlait pas du tour de la soukka : il parlait du tour du cercle formé par les hommes assis, autour d'elle, au-dehors.
Le calcul devient alors, selon Rachi : cercle des hommes de vingt-quatre de tour, donc huit coudées de diamètre. Les parois passent en dedans des sièges : on retranche une coudée de chaque côté, ce qui laisse six coudées de diamètre pour la soukka elle-même -- et dix-huit de tour.
Tossefot rejette pourtant ce procédé comme forcé et inutile. Ailleurs, dans Erouvin, Rabbi Yo'hanan enseigne qu'une fenêtre ronde doit avoir vingt-quatre tefahim de tour : là, aucune place d'homme à retrancher. Preuve qu'il compte bien l'espace occupé -- et que seule la lecture des juges de Césarée, au segment suivant, résout vraiment la difficulté.
Combien cela fait-il ? Dix-huit.
Or dix-sept moins un cinquième suffirait ! -- C'est bien là qu'il n'a pas été précis, et c'est vers la rigueur qu'il ne l'a pas été.
La guemara vérifie le compte de Rav Assi. Six coudées de diamètre pour les parois donnent dix-huit de tour, alors que 16,8 suffiraient. Il reste donc un lo dak -- mais cette fois il joue vers la rigueur : Rabbi Yo'hanan exige un peu plus que le minimum. Aucune soukka passoule n'est validée ; l'objection du segment 6 tombe.
Restait l'objection du segment 4 : lo dak d'un peu, oui, mais de beaucoup, non. Rachi la désamorce par un calcul fin. L'écart de 16,8 à 18 fait six cinquièmes de coudée sur le tour ; or ce qui compte est la largeur, et l'écart en largeur n'est que le tiers de cela -- deux cinquièmes de coudée seulement. Un arrondi de deux cinquièmes : voilà un lo dak acceptable.
Les Sages de Césarée -- et certains disent : les juges de Césarée -- disent : un cercle qui sort de l'intérieur d'un carré, un quart [de moins],
Troisième voie, et le folio s'interrompt en plein milieu de son énoncé. Les rabbanan de-Kessarie, sages ou juges de la ville portuaire de Césarée, ne déplacent ni les hommes ni leur taille : ils changent la table de conversion entre carré et cercle.
Premier volet, le seul énoncé ici : un cercle tiré de l'intérieur d'un carré vaut un quart de moins -- c'est la règle déjà connue, carré seize, cercle douze. Le second volet, qui vient au verso, est nouveau et bien plus généreux : un carré tiré de l'intérieur d'un cercle, la moitié de plus. Le tour du cercle vaudrait une fois et demie le périmètre du carré inscrit.
Applique à notre cas, le compte tombe juste, sans aucun lo dak : les hommes sont bien assis dedans, le tour intérieur vaut vingt-quatre, et vingt-quatre divisé par une fois et demie donne seize -- exactement le périmètre d'un carré de quatre sur quatre. Rachi le dit d'un mot : en vérité, nous exigeons bien la place des hommes. C'est cette lecture que Tossefot tenait pour la seule bonne. Reste que la règle de la moitié devra elle-même être éprouvée -- ce sera l'affaire de 8b.
Texte hébreu et araméen vocalisé : édition numérique William Davidson du Talmud Koren Noé, via Sefaria (licence CC BY-NC). Traduction française, notes et schémas : Chiourim BA (licence CC BY 4.0).